Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n，且S₅=30，又a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意n＞t，n∈N^•，都有

1

S1+a1+2

+

1

S2+a2+2

+…+

1

Sn+an+2

＞

12

25

，求t的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由a₁，a₃，a₉成等比数列列方程组求出首项和公差，则S_n可求；
（Ⅱ）把a_n，S_n代入

1

Sn+an+2

，整理后列项，求和后得到使

1

S1+a1+2

+

1

S2+a2+2

+…+

1

Sn+an+2

＞

12

25

成立的t的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设公差为d，由条件得

5a1+ 5×4 2 d=30 (a1+2d)2=a1(a1+8d)

，得a₁=d=2．
∴a_n=2n，
Sn=2n+

n(n-1)×2

2

=n2+n；
（Ⅱ）∵

1

Sn+an+2

=

1

n2+n+2n+2

=

1

n2+3n+2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
∴

1

S1+a1+2

+

1

S2+a2+2

+…+

1

Sn+an+2

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

＞

12

25

．
∴

1

n+2

＜

1

2

-

12

25

=

1

50

，
即：n+2＞50，n＞48．
∴t的最小值为48．

点评：题是数列与不等式综合题，考查了等差数列的前n项和与等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．