Question

12．已知椭圆C：x²+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1，过C任意一点M作与直线l₀：x+y-6=0夹角为30°的直线l，l交l₀于点P，则|MP|的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用曲线C的参数方程求出点P到直线l的距离d，计算|MP|=$\frac{d}{si{n30}^{°}}$，利用直线和椭圆相切的条件进行求解即可．

解答 解：∵过C任意一点M作与直线l₀：x+y-6=0夹角为30°的直线l，l交l₀于点P，
∴|MP|=$\frac{d}{si{n30}^{°}}$=2d，
即要使|MP|最小，则只需要M到直线x+y-6=0的距离最小即可，
设与x+y-6=0平行且与椭圆相切的直线为x+y+c=0，
即x=-（y+c），代入x²+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1得（y+c）²+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1，
整理得$\frac{16}{15}$y²+2cy+c²-1=0，
由判别式△=0得△=4c²-4×$\frac{16}{15}$（c²-1）=0．
即c²=16，得c=±4，
即切线为x+y+4=0（舍）或x+y-4=0，
则x+y-4=0到x+y-6=0的距离d=$\frac{|-4+6|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即d=$\sqrt{2}$，
则|MP|的最小值为|MP|=2d=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，利用直线和椭圆相切以及平行直线的距离公式是解决本题的关键．