Question

4．己知圆0：x²+y²=4和点A（1，0），B（-1，0），过点A的动直线l与圆O相交于M，N两点，设$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$．
（1）求点P的轨迹方程：
（2）求$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为x=my+1，代入圆0：x²+y²=4，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$求点P的轨迹方程：
（2）求出$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$，即可得到最大值与最小值．

解答 解：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），则
设直线l的方程为x=my+1，代入圆0：x²+y²=4，整理可得（1+m²）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{1+{m}^{2}}$
∴x₁+x₂=$\frac{1-{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$，
∴（x+1，y）=（x₁+1，y₁）+（x₂+1，y₂），
∴x=x₁+x₂+1=$\frac{2}{1+{m}^{2}}$，y=y₁+y₂=-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$，
∴x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1；
（2）$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂=-$\frac{4{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，
∴m=0取得最大值0，无最小值．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．