Question

5．设关于x的方程2x²-ax-2=0（a∈R））的两个实根为α、β（α＜β），函数$f（x）=\frac{4x-a}{{{x^2}+1}}$．
（Ⅰ）求f（α），f（β）的值（结果用含有a的最简形式表示）；
（Ⅱ）函数f（x）在R上是否有极值，若有，求出极值；没有，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用一元二次方程的求根公式求出α与β，带入函数f（x）表达式；
（Ⅱ）利用导数求出函数f（x）的单调性，函数f（x）在（-∞，α）是减函数，在（α，β）上是增函数，在（β，+∞）上是减函数．f（x）有极小值f（α）与极大值f（β）．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：$α=\frac{{a-\sqrt{{a^2}+16}}}{4}，β=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+16}}}{4}$．
$\begin{array}{l}f（α）=\frac{8}{{a-\sqrt{{a^2}+16}}}=-\frac{{\sqrt{{a^2}+16}+a}}{2}，\\ f（β）=\frac{8}{{a+\sqrt{{a^2}+16}}}=\frac{{\sqrt{{a^2}+16}-a}}{2}.\end{array}$
（Ⅱ）设g（x）=2x²-ax-2，
$f'（x）=\frac{{（4x-a）'（{x^2}+1）-（4x-a）（{x^2}+1）'}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{4（{x^2}+1）-2x（4x-a）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$
=$\frac{{-2（2{x^2}-ax-2）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=-\frac{2g（x）}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$．
因为当x＜α时，g（x）＞0，所以f'（x）＜0；
当α＜x＜β时，g（x）＜0，f'（x）＞0
当x＞β时，g（x）＞0，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在（-∞，α）是减函数．
在（α，β）上是增函数．
在（β，+∞）上是减函数．
所以f（x）有极小值$f（α）=-\frac{{\sqrt{{a^2}+16}+a}}{2}$．
极大值$f（β）=\frac{{\sqrt{{a^2}+16}-a}}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程的求根公式、利用导数判断函数的单调性以及函数极值，属基础题．