题目内容

17．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x-1|+|x+a|有相同的最小值，则不等式g（x）≥5的解集为（-∞，-3]∪[2，+∞）．

分析 通过配方可知f（x）的最小值为2a-1，进而可知g（x）在x=1或x=-a取得最小值，且2a-1≥0，通过计算g（1）=2a-1、g（-a）=2a-1，求出a的值，再解不等式即可．

解答 解：∵f（x）=x2+2x+2a=（x+1）2+2a-1，
∴f（x）的最小值为2a-1，
由题意知g（x）在x=1或x=-a取得最小值，且2a-1≥0，
将x=1或x=-a代入g（x），解得：a=2，
∴g（x）=|x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2＜x＜1}\\{-2x-1，x≤-2}\end{array}\right.$
∵g（x）≥5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+1≥5}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1≥5}\\{x≤-2}\end{array}\right.$，
解得x≥2或x≤-3，
故不等式的解集为（-∞，-3]∪[2，+∞），
故答案为：（-∞，-3]∪[2，+∞）

点评 本题考查函数的最值不等式的解法，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案
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A．2个B．4个C．5个D．3个

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