Question

14．设$f（x）=m（{x+m}）（{x-2m-1}），g（x）=x-2+ln\frac{x}{2}$，若?x∈R（x）＜0“与“g（x）＜0“中至少有一个成立，则实数m的取值范围是（-2，0）．

Answer 1

分析 经分析，x＜2，“g（x）＜0”成立，进而得到由于m（x+m）（x-2m-1）＜0对任意x≥2恒成立，故得到m满足的条件，解出即可．

解答 解：∵g（x）=x-2+ln$\frac{x}{2}$在（0，+∞）为增函数，
∴g（2）=2-2+ln1=0，
∴当x≥2时，g（x）≥0，
∵?x∈R，f（x）＜0“与“g（x）＜0“中至少有一个成立，
∴从而对任意x≥2，“f（x）＜0”恒成立，
由于m（x+m）（x-2m-1）＜0对任意x≥2恒成立，
则必满足$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-m＜2}\\{2m+2＜2}\end{array}\right.$．解得-2＜m＜0
则实数a的取值范围是 （-2，0）
故答案为 （-2，0）．

点评 本题考查了不等式的解法亦即函数的恒成立问题，属于中档题．