Question

5．已知数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{2n•a_n}，的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，数列{a_n}以1为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列前n项和公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）2n•a_n=n•2ⁿ，利用“错位相减法”即可求得前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）由题知a_n+1=2a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{a_n}以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n•a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
由①-②得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
即-S_n=$\frac{2-{2}^{n}•2}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等比数列通项公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．