Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（2，-1）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求sinθ，2cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量垂直的性质求得sinθ=2cosθ．由此求得要求式子的值．
（2）根据|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，求得2cosθ-sinθ=1．再根据sin²θ+cos²θ=1，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求得cosθ和sinθ 的值，可得sinθ，2cosθ的值．

解答 （1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$可知，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2cosθ-sinθ=0$，∴sinθ=2cosθ，
所以$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}=\frac{2cosθ-cosθ}{2cosθ+cosθ}=\frac{1}{3}$．                        
（2）由$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（cosθ-2，sinθ+1）可得，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（cosθ-2）}^{2}{+（sinθ+1）}^{2}}$=$\sqrt{6-4cosθ+2sinθ}$=2，
∴2cosθ-sinθ=1．
再根据sin²θ+cos²θ=1，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求得 $\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{3}{5}}\\{cosθ=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{sinθ=-1}\\{cosθ=0}\end{array}\right.$（舍去），
故只有cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$\frac{3}{5}$，∴sinθ=$\frac{3}{5}$，2cosθ=$\frac{8}{5}$．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模，同角三角函数的基本关系，属于中档题．