Question

2．设函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$+a为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义建立方程f（-x）=-f（x），进行求解即可．
（2）利用函数单调性的定义，利用定义法进行证明即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$+a为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-x-$\frac{1}{x}$+a=-x-$\frac{1}{x}$-a，
则a=-a，即a=0．
（2）∵a=0，∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
f（x）在（1，+∞）内是增函数．
证明：设x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}=（{x_1}-{x_2}）+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_1}-{x_2}）\frac{{（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在（1，+∞）内是增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．