Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面， ， 是的中点，过点作交于点.

（1）证明： 平面；

（2）证明： 平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接，利用中位线定理得出∥，故平面；
（2）由⊥底面 ，得，结合得平面，于是，结合得平面，故而，结合，即可得出平面；；
（3）依题意，可得．

试题解析：（1）连接交于点，连接．

∵底面是正方形，∴点是的中点．

又为的中点，∴∥．

又平面， 平面，

∴∥平面．

（2）∵⊥底面， 平面，∴．

∵底面是正方形，∴．又，

平面， 平面，

∴平面．又平面，∴．

∵， 是的中点，∴．又平面，

平面， ，∴平面．而平面

∴． 又，且，

又平面， 平面，∴平面．

（Ⅲ）∵是的中点，

．