Question

【题目】在实数集R中定义一种运算“*”，对任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质： ⑴对任意a，b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a∈R，a*0=a；（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．关于函数f（x）=（3x）* 的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞）．
其中所有正确说法的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由新运算“*”的定义，令c=0，则a*b=ab+a+b，

∴f（x）=（3x）*（ ）=1+3x+ ，

∴f′（x）=3﹣ ，令f′（x）=0，解得x=± ；

对于①，根据对勾函数的图象和性质可得，

在区间（﹣∞，﹣ ）上，函数图象向下，向上无限延长

∴函数f（x）的最小值为3是错误的；

对于②，f（﹣x）=1﹣3x﹣ 与﹣f（x）=﹣1﹣3x﹣ 不相等，

∴函数f（x）为奇函数是错误的；

对于③，当x∈（﹣∞，﹣ ）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

同理，当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣ ）和（ ，+∞），正确；

综上，正确的命题是③．

故选：B．

通过赋值法对f（x）的解析式进行化简，利用导数法分析出函数的单调性和最值，再利用函数奇偶性的定义分析出函数的奇偶性，可得答案．