Question

求和：（

1

1+12+14

）+（

2

1+22+24

）+…+（

100

1+1002+1004

）=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得

n

1+n2+n4

=

n

(n2-n+1)(n2+n+1)

=

1

2

（

1

n2-n+1

-

1

n2+n+1

），由此利用裂项求和法能求出（

1

1+12+14

）+（

2

1+22+24

）+…+（

100

1+1002+1004

）的值．

解答： 解：

1

1+12+14

分母是公比为1的等比数列，

2

1+22+24

分母是公比为2²的等比数列，
…

100

1+1002+1004

分母是公比为100²的等比数列，
∵1+n²+n⁴=

1-n6

1-n2

=（n²-n+1）（n²+n+1），
∴

n

1+n2+n4

=

n

(n2-n+1)(n2+n+1)

=

1

2

（

1

n2-n+1

-

1

n2+n+1

），
∴（

1

1+12+14

）+（

2

1+22+24

）+…+（

100

1+1002+1004

）
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

7

）+（

1

7

-

1

13

）+…+（

1

9901

-

1

10101

）]
=

1

2

(1-

1

10101

)
=

5050

10101

．
故答案为：

5050

10101

．

点评：本题考查数列前100项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．