Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（3）当a=3时，函数图象与直线y=m有三个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，f′（x）=-3x²+4x-1，代入x=2，从而求切线方程；
（2）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）；讨论a，从而确定极值点与极值；
（3）结合函数的图象及极值求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，
f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，
f′（x）=-3x²+4x-1，
则f（2）=-8+8-2=-2，f′（2）=-12+8-1=-5；
则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为
y+2=-5（x-2），
即5x+y-8=0；
（2）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）；
①若a＞0，
则在x=

a

3

附近，左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0；
故f（x）在x=

a

3

时取得极小值f（

a

3

）=-

4

27

a3；
在x=a附近，左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0；
故f（x）在x=a时取得极大值f（a）=0；
②若a＜0，
则在x=

a

3

附近，左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0；
故f（x）在x=

a

3

时取得极大值f（

a

3

）=-

4

27

a3；
在x=a附近，左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0；
故f（x）在x=a时取得极小值f（a）=0；
（3）由（2）可知，
f（x）在（-∞，1）递减，（1.3）递增，（3，+∞）递减．
f（x）_极小值=f（1）=-4；f（x）_极大值=f（3）=0；
故-4＜m＜0．

点评：本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于难题．