Question

1．已知f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{2x+m}$是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为奇函数，从而有f（-x）=-f（x），进一步得到$\frac{{x}^{2}+1}{-2x+m}=\frac{{x}^{2}+1}{-2x-m}$，这样即可求出m=0；
（2）f（x）变成$f（x）=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，可看出f（x）在（-∞，-1）上单调递增，根据增函数的定义，可设任意的x₁＜x₂＜-1，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，证明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在（-∞，-1）上单调递增．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）；
即$\frac{{{x^2}+1}}{-2x+m}=-\frac{{{x^2}+1}}{2x+m}$；
∴$\frac{{{x^2}+1}}{-2x+m}=\frac{{{x^2}+1}}{-2x-m}$；
∴m=-m；
∴m=0；
（2）$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{2x}$在（-∞，-1）上是单调增函数；
证明：$f（x）=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，设x₁＜x₂＜-1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{2}+\frac{1}{2{x}_{1}}-\frac{{x}_{2}}{2}-\frac{1}{2{x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＜x₂＜-1；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）＜0；
∴f（x）在（-∞，-1）上是单调增函数．

点评 考查奇函数的定义，增函数的定义，根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．