Question

6．对于函数f（x）=$\frac{{{2^x}+a}}{{{2^x}-1}}$，
（1）求函数的定义域；       
（2）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（3）用定义证明（2）中的函数在（0，+∞）上是单调递减的．

Answer 1

分析 （1）由2^x-1≠0便可得出该函数的定义域；
（2）f（x）若为奇函数，便有f（-1）=-f（1），求出f（-1），f（1）带入便可得到a=1；
（3）分离常数得到$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，根据减函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，从而证明f（x₁）＜f（x₂）便可得到f（x）在（0，+∞）上单调递减．

解答 解：（1）要使f（x）有意义，则2^x≠1；
∴x≠0；
∴该函数定义域为{x|x≠0}；
（2）若f（x）为奇函数，则：f（-1）=-f（1）；
∴$\frac{\frac{1}{2}+a}{\frac{1}{2}-1}=-\frac{2+a}{2-1}$；
解得a=1；
即a=1时，f（x）为奇函数；
（3）证明：a=1时，f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴${2}^{{x}_{1}}＞{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＜0$，${2}^{{x}_{1}}-1＞0，{2}^{{x}_{2}}-1＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．

点评 考查函数定义域的概念及求法，奇函数的定义，分离常数法的运用，以及减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．