Question

9．已知数列{a_n}是等比数列，首项a₁=1，公比q＞0，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列，
∴2（S₃+a₃）=S₂+a₂+S₁+a₁，
∴$2{a}_{1}（1+q+2{q}^{2}）$=3a₁+2a₁q，
化为4q²=1，公比q＞0，
∴q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）∵a_nb_n=n，
∴b_n=n•2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．