Question

16．定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]时，不等式f（2cosx）＞$\frac{3}{2}$-2sin²$\frac{x}{2}$的解集为（　　）

• A． （$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$）
• B． （-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$）
• C． （0，$\frac{π}{3}$）
• D． （-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}x$$-\frac{1}{2}$，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=0，进而根据f（2cosx）＞$\frac{3}{2}$-2sin²$\frac{x}{2}$可得2cosx＞1，解得答案．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}x$$-\frac{1}{2}$，
则g′（x）=f′（x）$-\frac{1}{2}$＞0，
∴g（x）在定义域R上是增函数，
且g（1）=f（1）$-\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$=0，
∴g（2cosx）=f（2cosx）-cosx$-\frac{1}{2}$=f（2cosx）-cosx$-\frac{1}{2}$，
令2cosx＞1，
则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞$\frac{1}{2}$+cosx，
又∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，且2cosx＞1
∴x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
故选：D

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，余弦函数的图象和性质，难度中档．