Question

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时f（x）＞1，且对任意实数x、y，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（l）证明：当x＜O吋，0＜f（x）＜1；
（2）证明：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（x²）•f（2x-x²+2）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出f（0）=0，再令y=-x，即可证明
（2）根据函数单调性的定义，作差，利用所给恒等式进行变形，判断f（x₁）与f（x₂）的大小，进而证明出f（x）的单调性；
（3）由函数的单调性得出不等式，解得即可．

解答： 解：（1）令x=y=0，
则f（0）=f（0）•f（0），
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1，
再令y=-x，
则f（0）=f（x）•f（-x），
∵当x＞0时f（x）＞f1，
∴0＜f（-x）＜1，
即当x＜O吋，0＜f（x）＜1；
（2）令x₁＜x₂，
∵x₁-x₂＜0，
∴0＜f（x₁-x₂）＜1，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）•f（x₂）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数；
（3）∵f（x²）•f（2x-x²+2）＞1，
∴f（x²•（2x-x²+2）＞f（0），
∴x²•（2x-x²+2）＞0，
∴2x-x²+2＞0
解得1-

3

＜x＜1+

3

故不等式的解集为（1-

3

，1+

3

）

点评：本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，函数单调性的定义及其证明，利用函数性质和函数的单调性解不等式的方法，转化化归的思想方法