Question

已知函数f（x）=x-

alnx

x

，其中a为常数，若当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：导数的综合应用

分析：利用f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，可得-2b≥f_min（x），只要求出f（x）函数的最小值，即可求实数b的取值范围．

解答： 解：当a=1时，f（x）=x-

alnx

x

，
∴f′（x）=1-

1-lnx

x2

，即f′（x）=

x2+lnx-1

x2

，
令f'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴f_min（x）=f（1）=1，
∵f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，
∴-2b≥f_min（x），即-2b≥1，
∴实数b的取值范围为（-∞，-

1

2

]．

点评：本题考查利用导数知识求函数的单调性以及最值；恒成立问题，确定函数的最值是关键．