Question

给出下列结论：
①已知命题：p：存在x∈R，tanx=1；，命题q：任意x∈R，x²-x+1＞0，则命题“p∧￢q”是假命题；
②已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是

a

b

=-3；
③若sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，则tanα=5tanβ；
④圆x²+y²+4x-2y+1=0与直线y=

1

2

x，所得弦长为2．
其中正确命题序号为

 

（把你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①，分别判断命题p与命题￢p、命题q与命题￢q的真假，即可判断命题“p∧￢q”的真假；
②，利用直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是a+3b=0，可判断②；
③，由sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，可求得

sinαcosβ= 5 12 cosαsinβ= 1 12

，从而可判断③；
④，求得圆x²+y²+4x-2y+1=0的圆心与半角，求得圆心到直线y=

1

2

x的距离d，利用弦长公式可求得所截得的弦长为，可判断④．

解答： 解：对于①，已知命题：p：存在x=

π

4

∈R，tanx=tan

π

4

=1，故命题p正确；
命题q：任意x∈R，x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，即命题q正确，故￢q为假命题；
则命题“p∧￢q”是假命题，故①正确；
对于②，已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件a+3b=0，而不是

a

b

=-3（它排除了b=0的情况），故②错误；
对于③，因为sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，
所以sinαcosβ+sinβcosα=

1

2

，（1）
sinαcosβ-sinβcosα=

1

3

，（2）
联立（1）（2），解得：

sinαcosβ= 5 12 cosαsinβ= 1 12

，
所以tanα=5tanβ，故③正确；
对于④，圆x²+y²+4x-2y+1=0的标准方程为：（x+2）²+（y-1）²=4，其圆心为（-2，1），半径为2，
圆心（-2，1）到直线x-2y=0的距离d=

|-2-2|

12+(-2)2

=

4

5

，
该圆与直线y=

1

2

x相交，所得弦长l=2

22-( 4 5 )2

=

4

5

=

4 5

5

≠2，故④错误；
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查全称命题与特称命题之间的关系及真假判断，考查直线与直线、直线与圆的位置关系，考查三角函数间的关系式的应用，属于中档题．