Question

已知f（x）=

m

x+1

+nlnx（x＞0，m，n为常数）在x=1处的切线方程为x+y-2=0．
（Ⅰ）若对任意实数x∈[

1

e

，1]，使得对任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：对任意正整数n，有4

n

k=1

k

k+1

+

n

k=1

lnk≥2n．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（I）f′（x）=-

m

(x+1)2

+

n

x

，由于函数f（x）在x=1处的切线方程为x+y-2=0．可得f′（1）=-1，f（1）=1，解出可得f(x)=

2

x+1

-

1

2

lnx．f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

．对任意实数x∈[

1

e

，1]，使得对任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，可得对任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）min≥t³-t²-2at+2成立，x∈[

1

e

，1]，即对任意的t∈[

1

2

，2]上恒有1≥t³-t²-2at+2成立?a≥

1

2

t2-

1

2

t+

1

2t

，对任意的t∈[

1

2

，2]．令g（t）=

1

2

t2-

1

2

t+

1

2t

，t∈[

1

2

，2]．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
（II）由（I）可得f(x)=

2

x+1

-

1

2

lnx．f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

．可得x∈（0，1]，f（x）≥f（1）=1，即

2

x+1

-

1

2

lnx≥1，令x=

1

k

∈（0，1]，k∈N^*．
可得

4

k+1

+lnk≥2，“累加求和”即可得出．

解答： （I）解：f′（x）=-

m

(x+1)2

+

n

x

，
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为x+y-2=0．
∴f′（1）=-1，f（1）=1，
∴

- m 4 +n=-1 m 2 =1

，解得

m=2 n=- 1 2

，
∴f(x)=

2

x+1

-

1

2

lnx．
f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

．
当x∈[

1

e

，1]，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在x∈[

1

e

，1]上单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=1．
∵对任意实数x∈[

1

e

，1]，使得对任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，
∴对任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）min≥t³-t²-2at+2成立，x∈[

1

e

，1]，
即对任意的t∈[

1

2

，2]上恒有1≥t³-t²-2at+2成立?a≥

1

2

t2-

1

2

t+

1

2t

，对任意的t∈[

1

2

，2]．
令g（t）=

1

2

t2-

1

2

t+

1

2t

，t∈[

1

2

，2]．
g′（t）=t-

1

2

-

1

2t2

=

2t3-t2-1

2t2

=

(t-1)(2t2+t+1)

2t2

，
容易知道2t²+t+1＞0．
令g′（t）＞0，解得1＜t≤2，此时函数g（t）单调递增；令g′（t）＜0，解得

1

2

≤t＜1，此时函数g（t）单调递减．
最大值只能在g(

1

2

)或g（2）中取得，而g(

1

2

)=

1

8

-

1

4

+1=

7

8

，g（2）=

5

4

．
∴g(x)max=

5

4

．
∴a≥

5

4

．
∴实数a的取值范围是[

5

4

，+∞)．
（II）证明：由（I）可得f(x)=

2

x+1

-

1

2

lnx．
f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

．
∴当x∈（0，1]，f′（x）＜0，
∴函数f（x）单调递减，
∴?x∈（0，1]，f（x）≥f（1）=1，
即

2

x+1

-

1

2

lnx≥1，
令x=

1

k

∈（0，1]，k∈N^*．
则

2

1 k +1

-

1

2

ln

1

k

≥1，
化为

4

k+1

+lnk≥2，
∴对任意正整数n，有4

n

k=1

k

k+1

+

n

k=1

lnk≥2n．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．