题目内容

已知正数a、b满足2a2+3b2=9，求a
1+b2
的最大值并求此时a和b的值．
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：本题可以利用平方和为定值，求积的最大值，可以根据条件配成平方和为定值的形式，再用基本为等式求最大值，要注意取等号的条件．
解答： 解：∵ab≤
a2+b2
2
，
∴
2
a×
3
1+b2
≤
2a2+3(1+b2)
2
=
2a2+3b2
2
+
3
2
．
当且仅当
2
a=
3
1+b2
时取等号．
∵2a2+3b2=9，
∴
2
a×
3
1+b2
≤6，
∴a
1+b2
≤
6
．
当且仅当a=
3
，b=±1时取等号．
∴a
1+b2
的最大值为
6
，此时a=
3
，b=±1．
点评：本题考查了基本不等式求最值，注意利用配凑法将平方和凑成定值，本题难度不大，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（3x-2）=x-1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x-2）+3．
（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域；
（2）设h（x）=[g（x）]2+g（x2），试求函数y=h（x）的最值．
已知向量
AB
=
a
+5
b
，
BC
=-2
a
+8
b
，
CD
=3（
a
-
b
），
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）求证：
CA
=x
CB
+y
CD
（其中x+y=1）．
已知函数f（x）=ln（x+a）+ax
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若a∈（-1，0），函数g（x）=a|f′（x）|的图象上存在P1，P2两点，其横坐标满足1＜x1＜x2＜6，且g（x）的图象在此两点处的切线互相垂直，求a的取值范围．
若0≤θ＜2π，
a
=（cos
θ
2
，sin
θ
2
），
b
=（cos
θ
2
，-sin
θ
2
），且满足
a
•
b
＜0，那么θ的取值范围是（　　）
A、（
π
4
，
3π
4
）
B、（
π
2
，π）
C、（
π
2
，
3π
2
）
D、（
3π
4
，
5π
4
）
已知集合A={x|-1≤x＜3}，B={x|x≤5}，求A∩B和A∪B．
直线y=-
3
（x-2）截圆x2+y2=4所得的劣弧所对的圆心角为
 
．
给出下列结论：
①已知命题：p：存在x∈R，tanx=1；，命题q：任意x∈R，x2-x+1＞0，则命题“p∧￢q”是假命题；
②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是
a
b
=-3；
③若sin（α+β）=
1
2
，sin（α-β）=
1
3
，则tanα=5tanβ；
④圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=
1
2
x，所得弦长为2．
其中正确命题序号为
 
（把你认为正确的命题序号都填上）．
设5π＜θ＜6π，cos
θ
2
=a，那么sin
θ
4
=
 
．

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