题目内容
点P为底边长为2
，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则
•
取值范围是（ ）
| 3 |
| PM |
| PN |
| A、[0，2] |
| B、[0，3] |
| C、[0，4] |
| D、[-2，2] |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用,空间位置关系与距离
分析：由题意，问题等价于已知MN是边长为2
的正△ABC内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，求
•
的取值范围．建立直角坐标系，利用正三角形的中心的性质，可得内切圆的半径r=1．可得正△ABC内切圆的方程为x2+（y-1）2=1．设P（t，0）（-
≤t≤
），M（x0，y0），N（-x0，2-y0），再利用数量积运算即可得出．
| 3 |
| PM |
| PN |
| 3 |
| 3 |
解答：
解：由题意，问题等价于已知MN是边长为2
的正△ABC
内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，
求
•
的取值范围．
建立如图所示的直角坐标系，
∵⊙D是边长为2
的正△ABC内切圆，
∴内切圆的半径r=
|OC|=
×
×2
=1．
∴正△ABC内切圆的方程为x2+（y-1）2=1．
设P（t，0）（-
≤t≤
），
M（x0，y0），N（-x0，2-y0）．
=（x0-t，y0），
=（-x0-t，2-y0），
∴x02+（y0-1）2=1，即x02+y02-2y0=0．
∴
•
=t2-（x02+y02-2y0）=t2，
∵-
≤t≤
．∴t2∈[0，3]．
∴
•
的取值范围的取值范围是[0，3]．
故选B．
解：由题意，问题等价于已知MN是边长为2| 3 |
内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，
求
| PM |
| PN |
建立如图所示的直角坐标系，
∵⊙D是边长为2
| 3 |
∴内切圆的半径r=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∴正△ABC内切圆的方程为x2+（y-1）2=1．
设P（t，0）（-
| 3 |
| 3 |
M（x0，y0），N（-x0，2-y0）．
| PM |
| PN |
∴x02+（y0-1）2=1，即x02+y02-2y0=0．
∴
| PM |
| PN |
∵-
| 3 |
| 3 |
∴
| PM |
| PN |
故选B．
点评：本题考查了正三角形的中心的性质、内切圆的方程、数量积的运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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| ||||||||
B、[
| ||||||||
C、[
| ||||||||
D、（-∞，
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| ||||
B、
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C、
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