Question

7．已知$\overrightarrow{a}$=2（cosωx，cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，$\sqrt{3}$sinωx）（其中0＜ω＜1），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
（1）若直线x=$\frac{π}{3}$是函数f（x）图象的一条对称轴，先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象．
（2）求函数y=f（x），x∈[-π，π]的值域．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再用用五点法作函数y=f（x）在区间[-π，π]上的图象．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=f（x），x∈[-π，π]的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx+1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
若直线x=$\frac{π}{3}$是函数f（x）图象的一条对称轴，则2ω•$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ω=$\frac{3k}{2}$+$\frac{1}{2}$，k∈Z，
结合0＜ω＜1，可得ω=$\frac{1}{2}$，故f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1．
列表：

x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{5π}{6}$	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{7π}{6}$
x	-π	-$\frac{2π}{3}$	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	0	-1	1	3	1	0

函数f（x）在[-π，π]的图象如图所示：

（2）根据x∈[-π，π]，可得x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，故函数f（x）的值域为[-1，3]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．