Question

7．已知定义在R上的奇函数y=f（x），对于?x∈R都有f（1+x）=f（1-x），当-1≤x＜0时，f（x）=log₂（-x），则函数g（x）=f（x）-2在（0，8）内所有的零点之和为（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和对称性之间的关系求出函数是周期为4的周期函数，作出函数在一个周期内的图象，利用数形结合进行求解．

解答 解：∵奇函数y=f（x），对于?x∈R都有f（1+x）=f（1-x），
∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
则f（2+x）=-f（x），
即f（4+x）=f（x），
则函数f（x）是周期为4的周期函数．
若0＜x≤1，则-1≤-x＜0，
则f（-x）=log₂x=-f（x），
则f（x）=-log₂x，0＜x≤1，
若1≤x＜2，则-1≤x-2＜0，
∵f（2+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2），
则f（x）=-f（x-2）=-log₂（2-x），1≤x＜2，
若2＜x＜3，则0＜x-2＜1，f（x）=-f（x-2）=log₂（x-2），2＜x＜3，
由g（x）=f（x）-2=0得f（x）=2，
作出函数f（x）在（0，8）内的图象如图：
由图象知f（x）与y=2在（0，8）内只有4个交点，
当0＜x≤1时，由f（x）=-log₂x=2，得x=$\frac{1}{4}$，
当1≤x＜2时，由f（x）=-log₂（2-x）=2得x=$\frac{7}{4}$，
则在区间（4，5）内的函数零点x=4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$，
在区间（5，6）内的函数零点x=$\frac{7}{4}$+4=$\frac{23}{4}$，
则在（0，8）内的零点之和为$\frac{1}{4}$+$\frac{7}{4}$+$\frac{17}{4}$+$\frac{23}{4}$=$\frac{48}{4}$=12
故在（0，8）内所有的零点之12，
故选：D

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．