Question

16．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-2a_n=2，n∈N*．
（1）求证：数列{a_n+2}为等比数列；
（2）数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），记T_n为数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：将原式转化成a_n+1+2=2（a_n+2），得$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2，即可证明数列{a_n+2}为等比数列；
（2）由（1）求得数列{b_n}通项公式，求得数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$}通项公式，利用“错位相减法”即可求得T_n．

解答 解：（1）证明a_n+1=2+2a_n，n∈N*，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2，
∵a₂=2a₁+2=6，$\frac{{a}_{2}+2}{{a}_{1}+2}$=2，也成立；
数列{a_n+2}为以4为首项，以2为公比的等比数列；
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2，
b_n=log₂（a_n+2）=log₂（2ⁿ⁺¹-2+2）=n+1，
$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+$\frac{4}{{2}^{5}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{3}}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3•{2}^{n}-n-3}{{2}^{n+1}}$，
数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n项和T_n，T_n=$\frac{3•{2}^{n}-n-3}{{2}^{n+1}}$．＜

点评 本题考查数列的求和，着重考查等比数列通项公式与采用“错位相减法”求前n项和，考查推理与运算能力，属于中档题．