Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点是（4，0），O为坐标原点，若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 设M，N为短轴的两个三等分点，F为椭圆的右焦点（c，0），由题意可得a=4，运用正三角形的性质和椭圆a，b，c的关系，解方程可得b，由此可求椭圆方程．

解答 解：设M，N为短轴的两个三等分点，
F为椭圆的右焦点（c，0），
因为△MNF为正三角形，
所以|OF|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|MN|，
即c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2}{3}$b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b，
由椭圆的一个顶点是（4，0），可得a=4，
即有b²+c²=a²=16，
即b²+$\frac{1}{3}$b²=16，
解得b=2$\sqrt{3}$，
因此，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用等边三角形的性质，椭圆的基本量的关系，属于基础题．