Question

17．已知抛物线C：y²=4x，直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，-1），则直线l的方程为y=-2x．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求得直线l的斜率．利用点斜式方程即可得到结论．

解答 解解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A，B在抛物线，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
两式作差可得：y₁²-y₂²=4（x₁-x₂），
即4（x₁-x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
即AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵线段AB的中点为（$\frac{1}{2}$，-1），∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，
则y₁+y₂=-2，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4}{-2}$=-2．
即直线l的斜率为-2．
则对应的方程为y+1=-2（x-$\frac{1}{2}$），
即y=-2x，
故答案为：y=-2x

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“点差法”求直线的斜率，涉及中点弦问题，经常使用点差法比较方便．