Question

15．已知定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=x²-4x
（1）求f（-2）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）设函数f（x）在[t-1，t+1]（t＞1）上的最大值为g（t），求g（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式求出f（2）的值即可；
（2）设x＜0，则-x＞0，根据函数的奇偶性求出函数的解析式即可；
（3）通过讨论t的范围，求出g（t）的最小值即可．

解答 解：（1）当x≥0时，f（x）=x²-4x，
故f（-2）=f（2）=-4；
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=x²+4x，
又f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=x²+4x，
故x＜0时，f（x）=x²+4x；
（3）∵当x≥0时，f（x）=x²-4x，
∴1＜t≤2，即|2-（t-1）|≥|（t+1）-2|时，
g（t）=f（t-1）=t²-6t+5，
t＞2，即|2-（t-1）|＜|（t+1）-2|时，
g（t）=f（t+1）=t²-2t-3，
故g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-6t+5，1＜t≤2}\\{{t}^{2}-2t-3，t＞2}\end{array}\right.$，
故t=2时，g（t）_min=-3．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题．