Question

已知函数y=f（x）满足：?a，b∈R，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）．
（1）用定义证明：f（x）是R上的增函数；
（2）设x，y为正实数，若

4

x

+

9

y

=4试比较f（x+y）与f（6）的大小．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，用单调性的定义判断f（x）在R上的增减性即可；
（2）由

4

x

+

9

y

=4，把x+y化为能利用基本不等式的不等式，求出x+y的最小值，即可证明结论．

解答： 解：（1）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂；
根据题意得，
x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
又∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）为R上的增函数；

（2）∵

4

x

+

9

y

=4，
∴x+y=（x+y）[

1

4

（

4

x

+

9

y

）]=

1

4

[4+9+

4y

x

+

9x

y

]，
又∵x＞0，y＞0，
∴x+y≥

1

4

[13+2

4y x • 9x y

]=

25

4

（当且仅当

4y

x

=

9x

y

时，取“=”），
即x=

5

2

，y=

15

4

时，（x+y）_min=

25

4

＞6；
又∵f（x）是R上的增函数，
∴f（x+y）＞f（6）．

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．