Question

函数f（x）=x²+ax+3，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由f（x）≥a分离参数a，然后构造函数g（x）=

-x2-3

x-1

（x＞1），由导数求得最大值后可得a的取值范围．

解答： 解：由f（x）=x²+ax+3，则f（x）≥a化为x²+ax+3≥a，
即a（x-1）≥-x²-3，
当x=1时，对于任意实数a上式成立；
当a＞1时，由a（x-1）≥-x²-3，得a≥

-x2-3

x-1

，
令g（x）=

-x2-3

x-1

（x＞1），
g′(x)=

(-x2-3)′(x-1)-(-x2-3)(x-1)′

(x-1)2

=

-2x(x-1)-(-x2-3)

(x-1)2

=

-x2+2x+3

(x-1)2

=-

(x+1)(x-3)

(x-1)2

．
当x∈（1，3）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈（3，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴当x=3时函数g（x）有极大值，也是最大值，等于

-32-3

3-1

=-6．
∴a≥-6．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分离变量法求函数的最值，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．