Question

设函数f（x）=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0）．
（1）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数求出函数的取值情况，即可求出m的取值范围，
（2）需要分类讨论，利用函数的单调性，对区间情况分类讨论，可求得f（x）在[t，t+3]上最大值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a(a＞0)
∴f'（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），
令f'（x）=0，解得x₁=-1，x₂=a＞0
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

2a-1≤2	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	1 4 a-a+1=0	0	-	0	a= 4 3
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）
因此f（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，当且仅当

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

，解得0＜a＜

1

3

，所以a的取值范围是（0，

1

3

）．
（2）当a=1时，f(x)=

1

3

x3-x-1．由（1）可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；f(x)极大值=f(-1)=-

1

3

．
①当t+3＜-1，即t＜-4时，
因为f（x）在区间[t，t+3]上单调递增，所以f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为f(x)max=f(t+3)=

1

3

(t+3)3-(t+3)-1=

1

3

t3+3t2+8t+5；       （9分）
②当-1≤t+3≤2，即-4≤t≤-1时，
因为f（x）在区间（-∞，-1]上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且f(2)=f(-1)=-

1

3

，所以f（x）在区间（-∞，2]上的最大值为f(2)=f(-1)=-

1

3

．
由-1≤t+3≤2，即-4≤t≤-1时，有[t，t+3]?（-∞，2]，-1∈[t，t+3]，所以f（x）在[t，t+3]上的最大值为f(x)max=f(-1)=-

1

3

；                            
③当t+3＞2，即t＞-1时，
由②得f（x）在区间（-∞，2]上的最大值为f(2)=f(-1)=-

1

3

．因为f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以f（t+3）＞f（2），故f（x）在[t，t+3]上的最大值为f(x)max=f(t+3)=

1

3

t3+3t2+8t+5．
综上所述，当a=1时，f（x）在[t，t+3]上的最大值f(x)max=

1 3 t3+3t2+8t+5(t＜-4或t＞-1) - 1 3 (-4≤t≤-1)

．

点评：本题考查了应用导数研究函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．