Question

已知函数f（x）=alnx+

1

2

x²-（a+1）x，a＞0．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数y=f（x）+

1

2

a²+3a的图象与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，并分解因式，注意定义域，讨论a＞1，a=1，0＜a＜1函数的单调区间即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+

1

2

a²+3a，求出g（x）的导数，讨论当a＞1时，g（1）＞0且g（a）＜0；当a=1时；当0＜a＜1时，g（a）＞0且g（1）＜0，不等式解的情况，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

（x＞0），
当a＞1时，f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减．
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，+∞）上单增，在（a，1）上单减；
（Ⅱ）令g(x)=f(x)+

1

2

a2+3a=alnx+

1

2

x2-(a+1)x+

1

2

a2+3a，
则g'（x）=f'（x），
当a＞1时，g（1）＞0且g（a）＜0，即

1

2

a2+2a-

1

2

＞0，且alna+2a＜0，显然无解；
当a=1时，g（x）在（0，+∞）上单增，显然不满足题意；
当0＜a＜1时，g（a）＞0且g（1）＜0，即a＞

1

e2

，且-2-

5

＜a＜-2+

5

，
即有

1

e2

＜a＜

5

-2．
综上，

1

e2

＜a＜

5

-2．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数与方程的转化思想的运用，以及分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．