Question

已知函数f（x）=-x³+ax在（-1，0）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围A；
（2）当a为A中最小值时，定义数列{a_n}满足：a₁∈（-1，0），且2a_n+1=f（a_n），用数学归纳法证明a_n∈（-1，0），并判断a_n+1与a_n的大小．

Answer 1

考点：数学归纳法,利用导数研究函数的单调性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）通过函数的导数值恒大于等于0，求实数a的取值范围A；
（2）直接利用数学归纳法证明步骤证明a_n∈（-1，0），通过作差法比较a_n+1与a_n的大小．

解答： 解：（1）∵f′（x）=-3x²+a≥0即a≥3x²在x∈（-1，0）恒成立，a≥3．
∴a∈[3，+∞）；∴A=[3，+∞）；                            …（4分）
（2）用数学归纳法证明：a_n∈（-1，0）．
（ⅰ）n=1时，由题设a₁∈（-1，0）；
（ⅱ）假设n=k时，a_k∈（-1，0）
则当n=k+1时，ak+1=

1

2

f(ak)=

1

2

(-ak3+3ak)
由（1）知：f（x）=-x³+3x在（-1，0）上是增函数，又a_k∈（-1，0），
所以

1

2

(-(-1)3+3×(-1))=-1＜ak+1=

1

2

f(ak)=

1

2

(-ak3+3ak)＜0，
综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意n∈N^*，a_n∈（-1，0）．                      …（8分）an+1-an=

1

2

(-

a

3 n

+3an)-an=-

1

2

an(an-1)(an+1)
因为a_n∈（-1，0），所以a_n+1-a_n＜0，即a_n+1＜a_n．                     …（10分）

点评：本题考查数学归纳法证明的步骤与方法，函数的最值问题的应用，考查计算能力．