Question

是否存在常数a，b，c，使得等式1（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：假设存在a，b，c，使得所给等式成立．通过n=1，2，3，列出方程组，求出abc即可．然后用数学归纳法证明等式1（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=

1

4

n⁴-

1

4

n²对一切正整数n都成立．

解答： 解：假设存在a，b，c，使得所给等式成立．
令n=1，2，3代入等式得

a+b+c=0 16a+4b+c=3 81a+9b+c=18

，解得

a= 1 4 b=- 1 4 c=0

以下用数学归纳法证明等式1（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=

1

4

n⁴-

1

4

n²对一切正整数n都成立．
（1）当n=1时，由以上可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即1（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）=

1

4

k⁴-

1

4

k²，
则当n=k+1时，1[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]=

1

4

（k+1）⁴-

1

4

（k+1）²
=1（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=

1

4

k⁴-

1

4

k²+（2k+1）

k(k+1)

2

=

1

4

(k+1)4-

1

4

(k+1)2．
由（1）（2）知，等式结一切正整数n都成立．

点评：本题是探索性命题，它通过观察归纳、猜想、证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．