Question

设函数f（x）=sinx-cosx+1．
（Ⅰ）若f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：

n+1

k=1

sin

kπ

2n+1

≥

3 2 (n+1)

4(2n+1)

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,反证法与放缩法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，构造函数F（x）=sinx-cosx+1-ax，然后，利用导数转化成F′（x）=cosx+sinx-a≥0恒成立，从而得到相应的范围；
（Ⅱ）直接利用数学归纳法进行证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sinx-cosx+1．
设函数F（x）=sinx-cosx+1-ax，
∴F′（x）=cosx+sinx-a
∵f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，
∴函数F（x）=sinx-cosx+1-ax≥F（0）=0，
∴只需F′（x）=cosx+sinx-a≥0恒成立，
即：a≤（sinx+cosx）_min，
∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，π]，
∴x=π时，sinx+cosx的最小值为-1．
∴a≤-1．
∴a的取值范围（-∞．-

2

]；
（Ⅱ）（用数学归纳法证明）
当n=1时，sin

π

3

=

3

2

＞

2

2

，成立，
假设当n=m，m∈N^•时成立，即
sin

π

3

+sin

2π

5

+sin

3π

7

+…+sin

mπ

2m+1

≥

3 2 (m+1)

4(2m+1)

，
∴当n=m+1，m∈N^•时，
sin

π

3

+sin

2π

5

+sin

3π

7

+…+sin

mπ

2m+1

+sin

(m+1)π

2m+3

≥

3 2 (m+1)

4(2m+1)

+sin（

mπ

2m+1

+

π

2m+1

）≥

3 2 (m+2)

4(2m+3)

，
∴当n=m+1，m∈N^•时成立，
∴原命题成立．

点评：本题重点考查了函数的基本性质，函数的单调性与导数、数学归纳法等知识，属于中档题．