Question

已知0≤φ＜π，函数f（x）=

3

2

cos（2x+φ）+sin²x．
（Ⅰ）若φ=

π

6

，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的最大值是

3

2

，求φ的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ） 化简可得f （x）=

1

2

cos （2x+

π

3

）+

1

2

，从而可求函数f （x）的值域为[0，1]；
（Ⅱ） 先求得f （x）=（

3

2

cosφ-

1

2

）cos2x-

3

2

sinφsin2x+

1

2

，由于函数f （x）的最大值为

3

2

，即有（

3

2

cosφ-

1

2

）²+（

3

2

sinφ）²=1，即可求φ的值．

解答： 解：本题满分（14分）．
（Ⅰ） 由题意可得：
f （x）=

1

4

cos 2x-

3

4

sin2x+

1

2

=

1

2

cos （2x+

π

3

）+

1

2

，
所以，函数f （x）的值域为[0，1]．                            …（6分）
（Ⅱ） 由题意
f （x）=（

3

2

cosφ-

1

2

）cos2x-

3

2

sinφsin2x+

1

2

，
由于函数f （x）的最大值为

3

2

，即
（

3

2

cosφ-

1

2

）²+（

3

2

sinφ）²=1，
从而cosφ=0，又0≤φ＜π，故
φ=

π

2

．                   …（14分）

点评：本题主要考查两角和差公式、二倍角公式、三角函数性质，同时考查运算求解能力，属于基本知识的考查．