Question

已知函数f（x）定义域为R，则下列命题：
①若y=f（x）为偶函数，则y=f（x+2）的图象关于y轴对称．
②若y=f（x+2）为偶函数，则y=f（x）关于直线x=2对称．
③若函数y=f（2x+1）是偶函数，则y=f（2x）的图象关于直线x=

1

2

对称．
④若f（x-2）=f（2-x），则y=f（x）关于直线x=2对称．
⑤函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于x=2对称．
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由偶函数的图象关于y轴对称，以及图象的平移，即可判断①、②、③；
由f（a+x）=f（b-x），则函数关于x=

a+b

2

对称，即可判断④；
令x-2=t，则函数y=f（x-2）即y=f（t），y=f（2-x）即为y=f（-t），而函数y=f（t）和y=f（-t）关于t=0对称，即可判断⑤．

解答： 解：对于①，y=f（x）为偶函数，则f（x）的图象关于y轴对称，
y=f（x+2）的图象可由f（x）的图象向左平移2个单位得到，则所得图象关于x=-2对称，则①错；
对于②，若y=f（x+2）为偶函数，则f（x+2）的图象关于x=0对称，
而y=f（x）的图象可由f（x+2）的图象向右平移2个单位得到，则有关于直线x=2对称，则②对；
对于③，若函数y=f（2x+1）是偶函数，则f（2x+1）的图象关于x=0对称，
而y=f（2x）的图象可由f（2x+1）向右平移

1

2

个单位得到，则所得图象关于x=

1

2

对称，则③对；
对于④，若f（x-2）=f（2-x），即为f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数，关于y轴对称，则④错；
对于⑤，令x-2=t，则函数y=f（x-2）即y=f（t），y=f（2-x）即为y=f（-t），
而函数y=f（t）和y=f（-t）关于t=0对称，即有函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于x=2对称，则⑤对．
故答案为：②③⑤．

点评：本题考查函数的奇偶性和对称性及运用，考查图象的平移规律，考查运算和判断、观察能力，属于基础题和易错题．