Question

16．2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用． 假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ） 用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X的分布列和数学期 望；
（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设某题M答对记为“M”，答错记为“$\overline{M}$”，X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（Ⅱ）由互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出志愿者甲能被录用的概率．

解答 解：（Ⅰ） 设某题M答对记为“M”，答错记为“$\overline{M}$”
X的可能取值为2，3，4，
P（X=2）=P（AB）=$\frac{1}{4}$，
P（X=3）=P（$\overline{A}BC+A\overline{B}C$）=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=1-P（X=2）-P（X=3）=$\frac{7}{12}$，
X的分布列为：

X	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{12}$

EX=$2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{7}{12}$=$\frac{10}{3}$．（6分）
（Ⅱ） 志愿者甲能被录用的概率
P=P（AB+$\overline{A}BC$+$A\overline{B}C$+$\overline{A}\overline{B}CD$+$\overline{A}B\overline{C}D$+A$\overline{B}\overline{C}$D）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}××\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$
=$\frac{25}{48}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．