Question

11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线右支上，且满足|PF₂|=|F₁F₂|，若直线PF₁与圆x²+y²=a²有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为1＜e≤$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 设直线PF₁与圆x²+y²=a²相切于点M，取PF₁的中点N，连接NF₂，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF₁|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到e，即可得出结论．

解答 解：设直线PF₁与圆x²+y²=a²相切于点M，
则|OM|=a，OM⊥PF₁，
取PF₁的中点N，连接NF₂，
由于|PF₂|=|F₁F₂|=2c，则NF₂⊥PF₁，|NP|=|NF₁|，
由|NF₂|=2|OM|=2a，
则|NP|=2b，
即有|PF₁|=4b，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=c+a，
4b²=（c+a）²，即4（c²-a²）=（c+a）²，
4（c-a）=c+a，即3c=5a，
则e=$\frac{5}{3}$．
∵直线PF₁与圆x²+y²=a²有公共点，
∴1＜e≤$\frac{5}{3}$，
故答案为：1＜e≤$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．