Question

20．如果$|x|≤\frac{π}{4}$，那么函数f（x）=-cos²x+sinx的值域是（　　）

• A． $[\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$
• B． $[-\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$
• C． $[-\frac{5}{4}，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}]$
• D． $[-\frac{5}{4}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$

Answer 1

分析 利用三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，结合x的范围，求出sinx的范围，然后求出函数的最值．

解答 解：函数f（x）=-cos²x+sinx=sin²x+sinx-1=（sinx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
∵$|x|≤\frac{π}{4}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sinx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当sinx=-$\frac{1}{2}$时，即x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）_min=-$\frac{5}{4}$，
当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$，f（x）_max=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
故函数f（x）=-cos²x+sinx的值域是[-$\frac{5}{4}$，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]，
故选：D．

点评 本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想，常考题型．