Question

10．设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）•g（x）-f（x）•g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（　　）

• A． f（x）•g（x）＞f（b）•g（b）
• B． f（x）•g（a）＞f（a）•g（x）
• C． f（x）•g（b）＞f（b）•g（x）
• D． f（x）•g（x）＞f（a）•g（a）

Answer 1

分析 令F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，可得F′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）g（x）-f（x）{g}^{′}（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，x∈R．即可判断出结论．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，则F′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）g（x）-f（x）{g}^{′}（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，x∈R．
∴函数F（x）在（a，b）上单调递减．
∴F（a）＞F（b），即$\frac{f（x）}{g（x）}$＞$\frac{f（b）}{g（b）}$，化为：f（x）g（b）＞f（b）g（x）．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．