题目内容
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时有f（x）=
（1）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数f（x）的解析式（写成分段函数的形式）．
| 4x |
| x+4 |
（1）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数f（x）的解析式（写成分段函数的形式）．
考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：（1）运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）运用偶函数的定义，求出x＜0的表达式，即可得到f（x）的解析式．
（2）运用偶函数的定义，求出x＜0的表达式，即可得到f（x）的解析式．
解答：
解：（1）函数f(x)=
在[0，+∞）上单调递增．
证明：设x1＞x2≥0，则f(x1)-f(x2)=
-
，
=
，
又x1＞x2≥0，所以x1-x2＞0，x1x2≥0，x1+x2＞0，
所以
＞0．
则f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f(x)=
在[0，+∞）上单调递增；
（2）由于当x≥0时有f(x)=
，
而当x＜0时，-x＞0，
则f(-x)=
=
=f(x)，
即f(x)=
（x＜0）．
则f(x)=
．
| 4x |
| x+4 |
证明：设x1＞x2≥0，则f(x1)-f(x2)=
| 4x1 |
| x1+4 |
| 4x2 |
| x2+4 |
=
| 16(x1-x2) |
| x1x2+4(x1+x2)+16 |
又x1＞x2≥0，所以x1-x2＞0，x1x2≥0，x1+x2＞0，
所以
| 16(x1-x2) |
| x1x2+4(x1+x2)+16 |
则f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f(x)=
| 4x |
| x+4 |
（2）由于当x≥0时有f(x)=
| 4x |
| x+4 |
而当x＜0时，-x＞0，
则f(-x)=
| -4x |
| -x+4 |
| 4x |
| x-4 |
即f(x)=
| 4x |
| x-4 |
则f(x)=
|
点评：本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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A、
| ||
| B、1 | ||
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| ||
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函数y=
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