题目内容
已知函数f（x）=2cos（
x+
）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．
（1）求点A、B的坐标以及
•
的值
（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（
-2β）的值．
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（1）求点A、B的坐标以及
| OA |
| OB |
（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（
| α |
| 2 |
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）由x的范围求出
x+
的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B的坐标，则
•
的值
可求；
（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得sin（
-2β）的值．
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| OA |
| OB |
可求；
（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得sin（
| α |
| 2 |
解答：
解：（1）∵0≤x≤5，∴
≤
x+
≤
，
∴-1≤cos（
x+
）≤
．
当
x+
=
，即x=0时，f（x）取得最大值1，
当
x+
=π，即x=4时，f（x）取得最小值-2．
因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，-2）．
则
=(0，1)，
=(4，-2)．
∴
•
=0-2=-2；
（2）∵点A（0，1）、B（4，-2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，
则α=
，sinβ=-
，cosβ=
，
则sin2β=2sinβcosβ=2×(-
)×
=-
，
cos2β=2cos2β-1=2×(
)2-1=
．
∴sin（
-2β）=sin（
-2β）=sin
cos2β-cos
sin2β
=
(cos2β-sin2β)=
(
+
)=
．
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
∴-1≤cos（
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
当
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
当
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，-2）．
则
| OA |
| OB |
∴
| OA |
| OB |
（2）∵点A（0，1）、B（4，-2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，
则α=
| π |
| 2 |
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
则sin2β=2sinβcosβ=2×(-
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
cos2β=2cos2β-1=2×(
2
| ||
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴sin（
| α |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
7
| ||
| 10 |
点评：本题考查了三角函数最值的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了三角函数的倍角公式及和差化积公式，考查了任意角的三角函数的定义，是中档题．
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A、（0，
| ||||
B、（
| ||||
C、（
| ||||
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