Question

若函数y=

f(x)

x

在（m，+∞）上为增函数（m为常数），则称f（x）为区间（m，+∞）上的“一阶比增函数”，（m，+∞）为f（x）的一阶比增区间．
（1）若f（x）=xlnx-2ax²是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）=λx³-xlnx-x²  （λ＞0，λ为常数），且g（x）=

f(x)

x

有唯一的零点，求f（x）的“一阶比增区间”；
（3）若f（x）是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求证：?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用“一阶比增函数”的意义，利用导数和函数单调性之间的关系即可得出；
（2）利用“一阶比增函数”的意义，利用g（x）=

f(x)

x

有唯一的零点先求出λ的值，即可得到f（x）的“一阶比增区间”；
（3）利用“一阶比增函数”的意义及增函数的定义即可证明；

解答： 解：（1）若f（x）=xlnx-2ax²是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，
则y=

f(x)

x

=lnx-2ax，
则y'=

1

x

-2a，
要使f（x）=xlnx-2ax²是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，
则y'=

1

x

-2a≥0恒成立，即a≤

1

2x

恒成立，
∵x＞0，
∴a≤0．
（2）若f（x）=λx³-xlnx-x²  （λ＞0，λ为常数），
则g（x）=

f(x)

x

=λx²-lnx-x，
由g（x）=

f(x)

x

=λx²-lnx-x=0，
得λx²-x=lnx，
设y=λx²-x和y=lnx，
要使g（x）=

f(x)

x

有唯一的零点，则由y=λx²-x和y=lnx的图象可知
当y=λx²-x经过点（1，0）时，函数g（x）=

f(x)

x

有唯一的零点，
此时λ-1=0，解得λ=1，
此时g（x）=

f(x)

x

=x²-lnx-x，
g'（x）=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

，
由g'（x）=

2x2-x-1

x

＞0，
得2x²-x-1＞0，
∴x＞1或x＜-

1

2

（舍去），
即函数g（x）的单调区间为（1，+∞），
∴f（x）的“一阶比增区间”是（1，+∞）；
（3）∵f（x）是“一阶比增函数”，即

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，
又?x₁，x₂∈（0，+∞），有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
∴

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
即f(x1)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f(x2)＜

x2f(x1+x2)

x1+x2

∴f(x1)+f(x2)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

+

x2f(x1+x2)

x1+x2

=f（x₁+x₂）．
∴?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，正确“一阶比增函数”的意义及增函数的定义及利用已经证明过的结论是解题的关键．涉及的知识点较多，综合性较强．