Question

已知函数f（x）=x²-3x+alnx（a＞0）．
（I）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）的切线斜率的最小值为1，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：

分析：（Ⅰ）把a=1代入原函数解析式，求导后由导函数大于0求得原函数的增区间，由导函数小于0求得原函数的减区间，从而得到极值点并求得极值；
（Ⅱ）由f（x）=2x-3+

a

x

的最小值为1，由a＞0得，2x-3+

a

x

≥2

2x• a x

-3=2

2a

-3，从而求出a的值．

解答： 解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，
f（x）=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
由2x²-3x+1=0，得x₁=1x₂=

1

2

，
由2x²-3x+1＞0，得x＜

1

2

，或x＞1，∴f（x）的单调递增区间为（0，

1

2

），（1，+∞）．
由2x²-3x+1＜0，得

1

2

＜x＜1，∴f（x）的单调递减区间为（

1

2

，1）．
∴f（x）极大值为f（

1

2

）=-

5

4

-ln2；极小值为f（1）=-2；
（Ⅱ）由f（x）=2x-3+

a

x

的最小值为1，
由a＞0得，2x-3+

a

x

≥2

2x• a x

-3=2

2a

-3，
∴2

2a

-3=1，
∴a=2．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，极值的求法，是一道中档题．