Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且对任意n∈N^*，且a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+2ⁿ=0的两根．
（1）求数列{b_n}的通项公式
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+2ⁿ=0的两根．可得a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=2ⁿ，可得

an+2

an

=2．a₂=2．于是数列{a_n}的奇数项、偶数项分别成等比数列；
即a_2n-1=2^n-1，a_2n=2ⁿ．
（2）分奇数与偶数讨论即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+2ⁿ=0的两根．
∴a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=2ⁿ，
∴

an+2•an+1

an•an+1

=

2n+1

2n

=2，a₁•a₂=2，
∴

an+2

an

=2．a₂=2．
∴数列{a_n}的奇数项、偶数项分别成等比数列；
∴a_2n-1=2^n-1，a_2n=2ⁿ．
∴当n为奇数2k-1（k∈N^*）时，b_n=2^k-1+2^k=3×2^k-1
当n为偶数2k（k∈N^*）时，b_n=2^k+2^k=2^k+1．
∴b_n=

3×2k-1，n=2k-1 2k+1，n=2k

（k∈N^*）．
（2）当n为奇数2k-1（k∈N^*）时，S_n=3（1+2+…+2^k-1）+（2²+2³+…+2^k-1）
=3×

2k-1

2-1

+

4(2k-2-1)

2-1

=5×2^k-7．
当n为偶数2k（k∈N^*）时，S_n=5×2^k-7+2^k+1=7×2^k-7．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．