Question

6．已知函数f（x）=x²（e^x-1）+ax³若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围[0，+∞）．

Answer 1

分析 先分类讨论，当x=0时，或当x≠0时，分离参数得到a≥$\frac{1-{e}^{x}}{x}$，在x∈（0，+∞）上恒成立，两次构造函数，求出函数的最值，问题得以解决．

解答 解：由f（x）=x²（e^x-1）+ax³若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，
∴x²（e^x-1）+ax³≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立，
 当x=0时，成立，a∈R，
当x≠0
∴a≥$\frac{1-{e}^{x}}{x}$，在x∈（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=$\frac{1-{e}^{x}}{x}$，x∈（0，+∞），
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）-1}{{x}^{2}}$，
设h（x）=e^x（1-x）-1，
∴h′（x）=-xe^x＜0在（0，+∞）恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）为减函数，
∴h（x）＜h（0）=-1，
∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）为减函数，\
∵1-e^x＜0，
∴g（x）＜0
综上所述a≥0
故答案为：[0，+∞）．

点评 本题考查了不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题求解，能分离参数的尽量分离参数，注意导数在研究函数最值问题中的应用．