Question

15．已知函数f（x）=xsinx+cosx．
（1）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）若x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），且a＜$\frac{cosx}{x}$＜b恒成立，求实数a，b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断f′（x）的符号，得出f（x）的单调性，从而求出f（x）的最值；
（2）令g（x）=$\frac{cosx}{x}$，判断g（x）的单调性，求出g（x）的最值即可得出a，b的范围．

解答 解：（1）f'（x）=xcosx，
∴当$x∈（-\frac{π}{2}，0）$时f'（x）＜0，当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时f'（x）＞0，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上单调递减，在（0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=1，
又$f（\frac{π}{2}）=f（-\frac{π}{2}）=\frac{π}{2}$，∴f（x）的最大值为$\frac{π}{2}$．
（2）设$g（x）=\frac{cosx}{x}$，则$g'（x）=\frac{-xsinx-cosx}{x^2}$，
由（I），当$x∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$时xsinx+cosx＞0，因而g'（x）＜0，
∴$g（x）=\frac{cosx}{x}$在$x∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$上单调递减，
又g（$\frac{π}{2}$）=0，g（$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2π}$，
∴$0＜g（x）＜\frac{3}{2π}$，∵$a＜\frac{cosx}{x}＜b$恒成立，
∴$a≤0，b≥\frac{3}{2π}$．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，导数最值的计算，属于中档题．