Question

11．设函数f（x）=ax²+lnx．（a∈R）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线y=-$\frac{1}{2}$的下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）结合（Ⅰ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，（x＞0），
a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
a＜0，f′（x）=$\frac{2a（x+\sqrt{-\frac{1}{2a}}）（x-\sqrt{-\frac{1}{2a}}）}{x}$，
∴当x∈（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
（II）由（Ⅰ）得：a＜0时，当x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$时，函数f（x）取得极大值，也即最大值，
f（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln（-$\frac{1}{2a}$）．
∵函数y=f（x）的图象总在直线y=-$\frac{1}{2}$的下方，
∴-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln（-$\frac{1}{2a}$）＜-$\frac{1}{2}$，解得a＜-$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．